La divisione per zero è uno dei concetti più discussi e problematici della matematica. Si tratta di una nozione che, pur essendo semplice a livello intuitivo, porta con sé una serie di complessità teoriche e pratiche.
Questo articolo mostrerà il concetto di divisione per zero, le ragioni per cui essa non è definita, le sue implicazioni e le soluzioni alternative che la matematica ha sviluppato per gestire situazioni simili.
Cos’è la divisione?
Prima di affrontare il problema specifico della divisione per zero, è utile ricordare cos’è la divisione in matematica. La divisione è un’operazione che può essere vista come l’inverso della moltiplicazione. In termini più semplici:
significa che il numero a (il dividendo) può essere scritto come il prodotto di b (il divisore) e c (il quoziente), ossia:
In altre parole, la divisione cerca di determinare quante volte un numero b può essere contenuto in a. Per esempio, 12÷3=4 perché 3 può essere moltiplicato per 4 per ottenere 12.
La divisione per zero
Ora, cosa succede quando proviamo a fare una divisione per zero? La divisione per zero è espressa come:
Per capire perché questa espressione non è definita, dobbiamo esaminare il processo di divisione. Supponiamo di voler eseguire una divisione come:
E questo implicherebbe:
Ed è qui il nocciolo della questione: il prodotto di qualsiasi numero per zero è sempre zero; quindi, non esiste alcun numero x tale che il risultato della moltiplicazione di 0 per x dia 12 (o qualsiasi altro numero diverso da zero) e questo dimostra che non esiste una soluzione valida per la divisione per zero.
La divisione per 0 nei numeri reali
Nel contesto dei numeri reali, questa divisione ipotetica è completamente indefinita e non esiste alcuna risposta che abbia senso in termini di aritmetica tradizionale; il motivo principale di ciò è che la divisione è un’operazione inversa alla moltiplicazione, e, come hai visto nei paragrafi precedenti, non esiste un numero che moltiplicato per zero dia un numero diverso da zero.
Inoltre, se fosse possibile dividere per zero, ciò porterebbe a paradossi logici. Ad esempio, se ammettiamo che a ÷ 0 = x , allora per ogni numero a dovremmo avere una soluzione per x. Ma ciò comporterebbe che x può assumere qualunque valore, il che crea una contraddizione. La divisione per zero, dunque, non è compatibile con la coerenza delle operazioni algebriche.
La divisione per zero nei numeri complessi
Anche nei numeri complessi la divisione per zero è indefinita. I numeri complessi estendono il concetto di numero reale includendo una parte immaginaria (ad esempio z=a+bi con i che rappresenta l’unità immaginaria), ma le regole di questa tipologia di divisione rimangono le stesse delle divisioni “normali”; la divisione per zero non è definita neanche in questo caso.
I limiti e l’infinito
In alcuni contesti matematici avanzati, come nelle teorie dei limiti e in calculus, si potrebbe cercare di “avvicinarsi” alla divisione per zero per osservare cosa accade quando il divisore si avvicina a zero.
Ad esempio, se consideriamo il limite di una funzione del tipo:
Quando x si avvicina a zero da valori positivi, il risultato della divisione cresce indefinitamente verso +∞. Al contrario:
Quando x si avvicina a zero da valori negativi, il risultato della divisione cresce indefinitamente verso -∞ e quindi, in questo contesto, la divisione per zero non è mai definita, ma si dice che la funzione tende all’infinito.
La divisione per zero nell’aritmetica modulare
Un altro contesto in cui si potrebbe incontrare una sorta di “divisione per zero” è l’aritmetica modulare; in alcune strutture algebriche come i gruppi o i corpi finiti, le operazioni di divisione sono definite in modo diverso.
Tuttavia, anche in questi casi, il “divisore zero” è generalmente escluso dalle operazioni, poiché non è possibile trovare un elemento che moltiplicato per zero dia un risultato diverso da zero.
Cosa succede nei calcolatori?
Nei calcolatori, la divisione per zero solitamente provoca un errore, come ad esempio un errore di divisione per zero che interrompe l’esecuzione del programma. La gestione di questa situazione è affidata al sistema operativo o al linguaggio di programmazione, che spesso lancia una eccezione per avvisare l’utente del problema.
In alcune tecnologie, come nelle macchine a virgola mobile, la divisione per zero può restituire valori speciali come infinito positivo o infinito negativo, ma ciò dipende dalle convenzioni adottate dal sistema di calcolo e non rappresenta una vera e propria divisione per zero in senso aritmetico.
Andiamo però più nel dettaglio:
- Calcolatrici: Si riferiscono a dispositivi elettronici che eseguono calcoli matematici. Le calcolatrici scientifiche, ad esempio, possono eseguire operazioni come le radici quadrate, le esponenziazioni, i logaritmi e altre funzioni matematiche e molte calcolatrici sono progettate per gestire operazioni di base, come addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, pertanto se una calcolatrice tenta di eseguire una divisione per zero, di solito mostra un errore, come “Err” o “Infinity“.
- Computer: Un computer è molto più potente e versatile rispetto a una calcolatrice, poiché può eseguire operazioni molto più complesse e gestire programmi, applicazioni e operazioni su larga scala e nei computer, quando si verifica una divisione per zero, il risultato dipende dal linguaggio di programmazione e dal tipo di sistema. Ad esempio, in alcuni casi può generare un errore (come in Python), mentre in altri casi può restituire un valore speciale come “infinito” (ad esempio nelle operazioni con numeri a virgola mobile, come in C++ o Java).
Tutto questo implica che in entrambi i casi la divisione per zero non è definita e viene gestita da un errore o da un comportamento speciale, ma la gestione del caso varia a seconda della complessità del dispositivo e del sistema.
Le implicazioni filosofiche
Il concetto di divisione per zero ha anche implicazioni filosofiche e logiche: se la matematica è una descrizione rigorosa della realtà, allora la divisione per zero potrebbe sembrare un “punto cieco” nella nostra comprensione dell’universo numerico.
La difficoltà di definire un’operazione che sembri “naturale” porta a interrogativi più ampi sul significato delle operazioni matematiche e sulla coerenza dei sistemi formali.
Sono state trovate possibili soluzioni per questo tipo di divisione?
La divisione per zero, come hai visto, è indefinita nei numeri reali e complessi, ma nella matematica e nella computer science sono state proposte alcune soluzioni alternative o metodi per “gestire” o “approssimare” questo problema, specialmente nei contesti pratici.
Un approccio comune, soprattutto nei calcolatori, è quello di restituire un errore o un’informazione speciale quando si tenta una divisione per zero. Nei sistemi numerici a virgola mobile (come quelli usati nei calcolatori scientifici e nei computer), la divisione per zero può restituire un valore speciale come infinito positivo o infinito negativo, a seconda del segno del numeratore.
Ad esempio, nel linguaggio di programmazione C++ o Python, una divisione come 1÷0 può generare infinito positivo, mentre −1÷0 restituirà infinito negativo, ma questi valori sono trattati in modo speciale, e non sono numeri veri e propri, ma piuttosto un modo per rappresentare situazioni limite.
Un’altra possibile “soluzione” alla divisione per zero è il concetto di numeri infinitesimi utilizzato in calculus; nei limiti, quando una variabile si avvicina a zero, si può analizzare il comportamento della funzione senza mai dividere effettivamente per zero.
Ad esempio, si può studiare il limite di 1 quando 1÷x si avvicina a zero, ma non si esegue mai realmente la divisione per zero e quindi, sebbene la divisione per zero rimanga indefinita, il calcolo dei limiti permette di trattare situazioni simili in modo coerente.
In alcuni ambiti, come la teoria degli anelli e le strutture algebriche avanzate, si sono sviluppate estensioni numeriche come i numeri p-adici o i numeri surréali che permettono di esplorare concetti di infinito e divisione in modi che non sono possibili nei numeri reali.
Questi approcci non risolvono direttamente la divisione per zero in termini pratici, ma piuttosto offrono una nuova prospettiva in contesti teorici.
In sintesi, pur non essendo esistenti soluzioni dirette per la divisione per zero, sono stati sviluppati metodi che permettono di trattare situazioni simili in modo matematicamente coerente, specialmente nei calcoli numerici avanzati e nelle teorie matematiche più astratte.
Conclusioni
La divisione per zero è un concetto che non può essere definito all’interno dell’aritmetica standard. La sua indeterminatezza è una delle ragioni per cui essa è evitata in tutte le forme di calcolo formale.
Sebbene siano state sviluppate altre strutture matematiche in cui si cerca di gestire situazioni simili, la divisione per zero rimane, nella matematica tradizionale, un’operazione senza significato; il problema della divisione per zero è un’area di grande interesse sia dal punto di vista matematico che filosofico.
